高中数学解三角形 §1.1.2　正弦定理和余弦定理 余弦定理(一)：doc全文下载

1．1.2　余弦定理(一)

对点讲练

一、已知三角形两边及夹角解三角形

例1 　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.

解　由余弦定理得c²＝a²＋b²－2abcos C＝8－4，所以c＝－，

由正弦定理得sin A＝＝，因为b>a，所以B>A，又∵0°<A<180°，∴A＝30°.

总结　解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．

►变式训练1　在△ABC中，边a，b的长是方程x²－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.

解　由题意：a＋b＝5，ab＝2.

由余弦定理得c²＝a²＋b²－2abcos C＝a²＋b²－ab＝(a＋b)²－3ab＝5²－3×2＝19.

∴c＝.

二、已知三角形三边解三角形

例2 　已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．

解　∵c>a，c>b，∴角C最大．由余弦定理，得c²＝a²＋b²－2abcos C，

即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－，∵0°<C<180°，∴C＝120°.

所以△ABC的最大内角为120°.

总结　已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．

►变式训练2　在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

解　由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x²＝²＋AB²－2··ABcos A＝4²＋9²－2×4×9×＝49，即x＝7.

所以，AC边上的中线长为7.

三、利用余弦定理判断三角形形状

例3 　在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a²＋b²)sin(A－B)＝(a²－b²)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

解　∵a²[sin(A－B)－sin(A＋B)]

＝b²[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，

∴2a²cos Asin B＝2b²cos Bsin A，

由正、余弦定理，即得

a²b＝b²a，

∴a²(b²＋c²－a²)＝b²(a²＋c²－b²)，

即(a²－b²)(c²－a²－b²)＝0，

∴a＝b或c²＝a²＋b²，

∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．